Enhedscirkel tangens

Introduktion til enhedscirkel tangens

Hvad er en enhedscirkel?

En enhedscirkel er en cirkel med radius 1, der har sit centrum i origo (0,0) i et koordinatsystem. Enhedscirklen bruges inden for trigonometri til at beskrive forholdet mellem vinkler og sider i en trekant.

Hvad er tangens?

Tangens er en trigonometrisk funktion, der angiver forholdet mellem længden af den modstående side og længden af den tilstødende side i en retvinklet trekant. Tangens af en vinkel kan beregnes ved at dividere længden af den modstående side med længden af den tilstødende side.

Hvad er enhedscirkel tangens?

Enhedscirkel tangens er tangens af en vinkel målt i radianer, hvor vinklen er defineret som længden af buen på enhedscirklen mellem origo og punktet på cirklen, hvor en vektor med længden 1 og vinklen 0° rammer cirklen.

Egenskaber ved enhedscirkel tangens

Periodicitet af enhedscirkel tangens

Enhedscirkel tangens har en periodicitet på 2π radianer eller 360°. Dette betyder, at tangensværdien gentager sig selv for hver 2π radianer eller 360°.

Definitionsmængde og værdimængde af enhedscirkel tangens

Definitionsmængden for enhedscirkel tangens er alle reelle tal, undtagen de værdier hvor cosinus er lig med 0, da dette ville medføre en division med 0. Værdimængden er alle reelle tal, da tangens kan antage alle værdier på det reelle talakse.

Sammenhæng mellem tangens og sinus/cosinus

Der er en tæt sammenhæng mellem tangens, sinus og cosinus. Tangens kan beregnes som sinus delt med cosinus. Dette kan udtrykkes matematisk som:

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Formler og identiteter for enhedscirkel tangens

Tangens af vinkelsummer

Der findes formler til beregning af tangens for vinkelsummer. For eksempel kan tangens af en vinkelsum beregnes som:

tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 – tan(x) * tan(y))

Tangens af halve vinkler

Der findes også formler til beregning af tangens for halve vinkler. For eksempel kan tangens af en halv vinkel beregnes som:

tan(x/2) = (1 – cos(x)) / sin(x)

Tangens af dobbelte vinkler

Endelig findes der formler til beregning af tangens for dobbelte vinkler. For eksempel kan tangens af en dobbelt vinkel beregnes som:

tan(2x) = 2 * tan(x) / (1 – tan^2(x))

Anvendelser af enhedscirkel tangens

Beregning af vinkler i retvinklede trekanter

Enhedscirkel tangens bruges til at beregne vinkler i retvinklede trekanter. Ved at kende længden af de to kateter kan tangens anvendes til at finde størrelsen af den ukendte vinkel.

Geometriske beregninger med enhedscirkel tangens

Enhedscirkel tangens bruges også til at løse geometriske problemer, hvor vinkler og sider skal beregnes. Dette kan for eksempel være i forbindelse med konstruktion af bygninger eller i landmåling.

Eksempler og øvelser med enhedscirkel tangens

Eksempel 1: Beregning af en vinkel ved hjælp af tangens

Antag at vi har en retvinklet trekant, hvor længden af den tilstødende side er 3 og længden af den modstående side er 4. Vi kan beregne vinklen ved at anvende tangens:

tan(x) = 4 / 3

Vi kan finde vinklen ved at tage den inverse tangens af dette forhold:

x = atan(4 / 3)

Eksempel 2: Beregning af en sidelængde i en retvinklet trekant

Antag at vi har en retvinklet trekant, hvor vi kender vinklen og længden af den tilstødende side. Vi kan beregne længden af den modstående side ved at anvende tangens:

tan(x) = modstående / tilstødende

Vi kan isolere den modstående side ved at multiplicere med den tilstødende side:

modstående = tilstødende * tan(x)

Øvelse 1: Løsning af en trigonometrisk ligning med tangens

Løs følgende ligning:

tan(x) = 1

Vi kan finde løsningen ved at tage den inverse tangens af 1:

x = atan(1)

Opsummering

Enhedscirkel tangens er en trigonometrisk funktion, der angiver forholdet mellem længden af den modstående side og længden af den tilstødende side i en retvinklet trekant målt i radianer. Enhedscirkel tangens har en periodicitet på 2π radianer og kan beregnes ved hjælp af formler og identiteter. Den anvendes til at beregne vinkler og sider i retvinklede trekanter samt til geometriske beregninger. Eksempler og øvelser kan hjælpe med at forstå og anvende enhedscirkel tangens i praksis.

Kilder

1. MatematikFessor – Enhedscirkel tangens (https://www.matematikfessor.dk/lektioner/enhedscirkel-tangens/)

2. MatematikGuru – Enhedscirkel tangens (https://www.matematikguru.dk/lektioner/enhedscirkel-tangens/)